Montrer qu'il existe une bijection entre l'ensemble des formes bilinéaires \(\sigma\) sur \(E\) et les applications linéaires \(\mathcal A\in\mathcal L(E,E)\)
De plus, \(\sigma\) est symétrique si et seulement si \(\mathcal A\) possède une matrice symétrique \(A\) dans la base de \(E\)

Écritures matricielle et sous forme de produit scalaire
Si on fixe une base \(\{e_1,\dots,e_n\}\) de \(E\), alors la forme donnée \(\sigma(x,y)\) s'écrit comme $$\sigma(x,y)=x^TAy=\langle x,Ay\rangle$$

À l'inverse, existence d'une forme bilinéaire à partir d'une matrice
\(A\) est une matrice qui donne l'application \(\mathcal A\) dans cette base
Si \(A\) est la matrice de \(\mathcal A\) dans une base, alors $$\sigma(x,y)=\langle x,Ay\rangle$$ nous donne une forme bilinéaire

Si de plus \(A=A^T\), on a vu $$\begin{align}\sigma(y,x)=\langle x,Bx\rangle&=\sum^n_{i=1}y_i\sum^n_{j=1}\underbrace{b_{ij}}_{a_{ji}}y_ix_j=\sum^n_{i,j=1}a_{ij}x_iy_j\end{align}$$ d'où \(b_{ij}=a_{ji}\) et \(B=A^T\)